균등 연속 함수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예시
5. 균등 연속성과 확장 문제
6. 위상 벡터 공간으로의 일반화
7. 균등 공간으로의 일반화
8. 비표준 해석학
참조

1. 개요

균등 연속 함수는 거리 공간, 유사 거리 함수, 또는 균등 공간에서 정의될 수 있는 함수로, 함수의 '전역적' 속성을 나타낸다. 일반적인 연속 함수와 달리, 균등 연속 함수는 엡실론(ε)에만 의존하는 델타(δ)를 가지며, 함수의 정의역 내 x값에는 독립적이다. 균등 연속 함수는 연속 함수보다 더 강한 조건을 가지며, 모든 연속 함수가 균등 연속인 것은 아니다. 예를 들어, 제곱 함수는 연속이지만 균등 연속은 아니다. 그러나 콤팩트 공간에서 정의된 연속 함수는 균등 연속이며, 균등 연속 함수의 합성은 균등 연속이다. 균등 연속성은 코시 연속성을 의미하며, 함수 확장 문제와 관련이 있다. 균등 연속성은 위상 벡터 공간 및 균등 공간으로 일반화될 수 있으며, 비표준 해석학에서도 정의된다.

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균등 연속 함수
정의
설명	함수 값이 균일하게 제한되는 변화
수학적 정의
조건	임의의 양수 δ에 대해, \|x - a\| < δ이면 \|f(x) - f(a)\| < ε을 만족하는 양수 ε이 존재한다.
설명	δ는 a와 x에 독립적이다.
다른 표현	임의의 양수 ε에 대해, 모든 x, x ∈ X에 대해 \|x - x\| < δ이면 \|f(x) - f(x)\| < ε을 만족하는 양수 δ가 존재한다. X의 모든 점에서 동일한 δ를 사용할 수 있다.
관련 개념
영어	uniformly continuous map (균등 연속 사상)

2. 정의

균등 연속 함수는 균등 공간, 유사 거리 함수, 거리 공간 등 다양한 방식으로 정의될 수 있다.

균등 공간을 사용하여 정의할 수 있으며, 이 경우 위상 공간 사이의 연속 함수와 유사하게 정의된다.
유사 거리 함수를 사용하여 정의할 수 있으며, 이 정의는 거리 공간의 경우에 더 간단하게 표현된다.

2. 1. 거리 공간에서의 정의

두 거리 공간

(X, d_X)

,

(Y, d_Y)

사이의 함수

f\colon X \to Y

가 '''균등 연속 함수'''라는 것은, 임의의 양의 실수

\epsilon>0

에 대하여 다음 조건을 만족시키는 양의 실수

\delta_\epsilon>0

이 존재함을 의미한다.

$X$ 의 임의의 두 점 $x, x'\in X$ 에 대하여, $d_X(x,x')<\delta_\epsilon$ 이면 항상 $d_Y(f(x),f(x'))<\epsilon$ 이다.

이는 연속 함수의 정의와 유사하나, 연속 함수의 정의에서

\delta

는

\epsilon

및

x

에 의존할 수 있는 반면 균등 연속 함수의 정의에서는

\delta

는

\epsilon

에만 의존하고

x

에는 의존할 수 없다.

두 거리 공간

(X,d_1)

와

(Y,d_2)

에 대해, 함수

f : X \to Y

에 대한 균등 연속성과 (일반) 연속성의 정의는 다음과 같다.

$f$ 가 '''균등 연속'''이라는 것은 모든 실수 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $d_1(x,y) < \delta$ 를 만족하는 모든 $x,y \in X$ 에 대해 $d_2(f(x),f(y)) < \varepsilon$ 를 만족하는 실수 $\delta > 0$ 가 존재함을 의미한다. 각 $x$ 에 대한 집합 $\{ y \in X: d_1(x,y) < \delta\}$ 는 $x$ 의 근방이고, 각 $y$ 에 대한 집합 $\{ x \in X: d_1(x,y) < \delta\}$ 는 거리 공간에서 근방의 정의에 따라 $y$ 의 근방이다.
만약 $X$ 와 $Y$ 가 실수선의 부분 집합이라면, $d_1$ 과 $d_2$ 는 표준 1차원 유클리드 거리가 될 수 있으며, 이는 다음과 같은 정의를 제공한다. 모든 실수 $\varepsilon > 0$ 에 대해, 모든 $x,y \in X$ 에 대해 $|x - y| < \delta \implies |f(x) - f(y)| < \varepsilon$ 를 만족하는 실수 $\delta > 0$ 가 존재한다(여기서 $A \implies B$ 는 "만약 $A$ 라면, $B$ 이다"를 의미하는 조건문이다).
동등하게, $f$ 는 $\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x \in X \; \forall y \in X : \, d_1(x,y) < \delta \, \Rightarrow \,d_2(f(x),f(y)) < \varepsilon$ 일 때 균등 연속이다. 여기서 양화자 ( $\forall \varepsilon > 0$ , $\exists \delta > 0$ , $\forall x \in X$ , and $\forall y \in X$ )가 사용되었다.
동등하게, $f$ 는 연속률을 가지면 균등 연속이다.
$f$ 가 $\underline{\text{at } x}$ 에서 '''연속'''이라는 것은 모든 실수 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $d_1(x,y) < \delta$ 를 만족하는 모든 $y \in X$ 에 대해 $d_2(f(x),f(y)) < \varepsilon$ 를 만족하는 실수 $\delta > 0$ 가 존재함을 의미한다. 집합 $\{ y \in X: d_1(x,y) < \delta\}$ 는 $x$ 의 근방이다. 따라서 (통상적인) 연속성은 점 $x$ 에서의 함수의 국소적 성질이다.
동등하게, 함수 $f$ 는 $\forall x \in X \; \forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall y \in X : \, d_1(x,y) < \delta \, \Rightarrow \, d_2(f(x),f(y)) < \varepsilon$ 일 때 연속이다.
또는 함수 $f$ 는 모든 양의 실수 $\varepsilon$ 과 $x \in X$ 에 대한 함수 $\delta(\varepsilon, x)$ 가 존재하고, 이 함수는 각 $x$ 에서 $y \in X$ 가 $d_1(x,y) < \delta(\varepsilon,x)$ 를 만족하면 $d_2(f(x),f(y)) < \varepsilon$ 를 만족하는 최대 양의 실수를 나타낼 때 연속이다. 각 $x$ 에서, $\delta(\varepsilon, x)$ 는 단조 감소하지 않는 함수이다.

거리 공간

(X,d_X),\,(Y,d_Y)

에 대해, 함수

f \colon X \to Y

가 '''균등 연속'''이라는 것은 다음을 만족하는 것이다.

:

{}^{\forall} \varepsilon>0, {}^{\exists} \delta>0\;;\; ({}^{\forall} p,q\in X \;;\; d_X(p,q)<\delta), d_Y(f(p),f(q))<\varepsilon

2. 2. 유사 거리 함수를 통한 정의

균등 공간은 일련의 유사 거리 함수들의 주어진 집합으로 정의할 수 있으며, 균등 연속 함수의 개념을 이를 사용하여 정의할 수 있다. 이 정의는 더욱 구체적이며, 특히 거리 공간의 경우 간단해진다.

집합

X

위에 유사 거리 함수들의 (유한 또는 무한) 집합

\{d_i\}_{i\in I}

가 주어졌으며, 이들이 유한 상한에 대하여 닫혀 있다고 하자. 즉, 다음이 성립한다고 하자.

:

\forall I'\subseteq I,\;|I'|<\aleph_0\exists\bar\imath\in I\colon d_{\bar\imath}=\max_{i\in I'}d_i

그렇다면,

:

\mathcal B_X=\left\{B_{i,t}\colon i\in I,\;t\in\mathbb R^+\right\}

:

B_{i,t}=d_i^{-1}([0,t])=\{(x,y)\in X^2\colon d_i(x,y)\le t\}

는

X

위의 기본계를 구성하며 따라서 균등 구조를 정의한다. 또한, 모든 균등 공간은 위와 같이 유사 거리 함수들의 (유한 또는 무한) 족으로 나타낼 수 있다.

위와 같이, 유한 상한에 대하여 닫힌 유사 거리 함수들이 갖추어진 두 집합

(X,\{d_i\}_{i\in I})

및

(Y,\{d_j\}_{j\in J})

이 주어졌다고 하고, 그 사이의 함수

f\colon X\to Y

가 주어졌다고 하자. 만약

임의의 $j\in J$ 및
임의의 양의 실수 $\epsilon>0$

에 대하여, 다음 조건을 만족시키는

$i\in I$ 및
양의 실수 $\delta>0$

가 존재한다면,

f

를 '''균등 연속 함수'''라고 한다.

$X$ 의 임의의 두 점 $x, x'\in X$ 에 대하여, 만약 $d_i(x,x')<\delta$ 라면, 항상 $d_j(f(x),f(x'))<\epsilon$ 이다.

특히, 거리 공간은 위 구성에서 단 하나의 유사 거리 함수만이 주어지며, 유사 거리 함수가 거리 함수를 이루는 경우이다. 이 경우 위 정의는 더 간단해진다. 구체적으로, 두 거리 공간

(X, d_X)

,

(Y, d_Y)

사이의 함수

f\colon X \to Y

가 주어졌을 때, 만약 임의의 양의 실수

\epsilon>0

에 대하여 다음 조건을 만족시키는 양의 실수

\delta_\epsilon>0

이 존재한다면

f

를 '''균등 연속 함수'''라고 한다.

$X$ 의 임의의 두 점 $x, x'\in X$ 에 대하여, 만약 $d_X(x,x')<\delta_\epsilon$ 이라면 항상 $d_Y(f(x),f(x'))<\epsilon$ 이다.

이는 연속 함수의 정의와 유사하나, 연속 함수의 정의에서

\delta

는

\epsilon

및

x

에 의존할 수 있는 반면 균등 연속 함수의 정의에서는

\delta

는

\epsilon

에만 의존하고,

x

에 의존할 수 없다.

2. 3. 균등 공간에서의 정의

균등 공간

(X,\mathcal E)

,

(Y,\mathcal F)

사이의 함수

f\colon X\to Y

가 '''균등 연속 함수'''라는 것은 다음 조건을 만족시키는 것이다.

측근의 원상은 측근이다. 즉, 임의의 $F\in\mathcal F$ 에 대하여, $f^{-1}(F)\in\mathcal E$ 이다.^[2]

이는 위상 공간 사이의 연속 함수의 정의와 유사하다. 연속 함수는 열린집합의 원상이 열린집합인 함수이며, 균등 연속 함수는 측근의 원상이 측근인 함수이다.

위상 공간에서 연속성의 가장 자연스럽고 일반적인 설정이 있는 것처럼, ''균등'' 연속성을 연구하는 가장 자연스럽고 일반적인 설정은 균등 공간이다. 균등 공간 사이의 함수

f:X \to Y

는 모든 근방 ''

V

'' in ''

Y

''에 대해 모든

(x_1,x_2)

in

U

에 대해

(f(x_1),f(x_2))

in

V

가 되는 근방 ''

U

'' in ''

X

''가 존재하면 ''균등 연속''이라고 한다.

특히 ''f''가 전단사이고 ''f''와 ''f''^-1가 모두 균등 연속일 때, ''f''는 '''균등 동형'''이라고 한다.^[2]

임의의 균등 연속 함수는 균등성으로부터 유도되는 위상에 관해 반드시 연속이다.^[2]

균등 공간과 균등 연속 함수의 전체는 하나의 범주를 이룬다. 균등 공간 사이의 동형 사상은 균등 동형이라고 불린다.

3. 성질

두 균등 공간 사이의 모든 균등 연속 함수는 (균등 위상에 대하여) 연속 함수이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 다만, 다음과 같은 부분적인 역이 성립한다.

정의역이 콤팩트 거리 공간이며 공역이 거리 공간이라면 모든 연속 함수는 균등 연속 함수이다 (하이네-칸토어 정리).
두 위상군 사이의 연속 군 준동형은 (정의역과 공역 위의 왼쪽·오른쪽 균등 공간 구조에 대하여) 균등 연속 함수이다.^[3]
유사콤팩트 위상군 $G$ 에 대하여, 모든 연속 함수 $G\to\mathbb R$ 는 (왼쪽·오른쪽) 균등 연속 함수이다.^[3]

두 거리 공간 사이의 모든 립시츠 연속 함수 및 횔더 연속 함수는 균등 연속 함수이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

정의역이 구간인 경우, 모든 절대 연속 함수는 균등 연속 함수이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

두 균등 연속 함수의 합성은 균등 연속 함수이다.

하이네-칸토어 정리에 따르면, ''콤팩트 집합 위의 모든 연속 함수는 균등 연속이다.'' 특히, ''함수가 실수선의 닫힌 유계 구간에서 연속이면, 그 구간에서 균등 연속이다.''

실수 값을 갖는 함수

f

가

[0, \infty)

에서 연속이고

\lim_{x \to \infty} f(x)

가 존재(그리고 유한)하면,

f

는 균등 연속이다. 특히, 무한대에서 사라지는

\mathbb{R}

상의 연속 함수 공간인

C_0(\mathbb{R})

의 모든 요소는 균등 연속이다.

선형 함수 $x \mapsto ax + b$ 는 균등 연속 함수의 가장 간단한 예시이다.
$[0,1]$ 구간에서 정의된 모든 연속 함수는 $[0,1]$ 이 콤팩트 집합이므로 균등 연속 함수이다.
열린 구간에서 함수가 미분 가능하고 그 도함수가 유계라면, 그 함수는 해당 구간에서 균등 연속이다.
두 거리 공간 사이의 모든 립쉬츠 연속 사상은 균등 연속이다. 더 일반적으로, 모든 홀더 연속 함수는 균등 연속이다.
절댓값 함수는 $x = 0$ 에서 미분 가능하지 않음에도 불구하고 균등 연속이다. 이는 균등 연속 함수가 항상 미분 가능한 것은 아님을 보여준다.
어디에서도 미분 가능하지 않지만, 바이어슈트라스 함수는 균등 연속이다.
균등 동등 연속 함수 집합의 모든 구성원은 균등 연속이다.

4. 예시

탄젠트 함수 tan^영어는 연속 함수이지만, 정의역이 (-π/2,π/2)^la이므로 균등 연속 함수가 아니다.^[1]

지수 함수 exp^영어는 연속 함수이지만, 정의역이 ℝ 전체이고, 그 도함수가 x가 커짐에 따라 무한대로 발산하므로 균등 연속 함수가 아니다.^[2]

모든 균등 연속 함수는 연속 함수이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어 함수 f^영어: ℝ → ℝ, x ↦ x²는 연속 함수이지만, 균등 연속이 아니다. 그 이유는 임의의 양의 실수 ε에 대해, |x₁ - x₂| < δ이면 |f(x₁)-f(x₂)| < ε를 만족하는 양의 실수 δ가 존재해야 하는데, f(x + δ) - f(x) = 2x⋅δ + δ²에서 x가 커질수록 δ는 ε보다 작아지도록 더 작아져야 하기 때문이다. 즉, 조건을 만족하는 δ를 지정할 수 없다.^[3]

절대 연속 함수(콤팩트 구간에서)는 균등 연속이다. 반면, 칸토어 함수는 균등 연속이지만 절대 연속은 아니다.

균등 연속 함수에서 전유계 공간의 부분 집합의 이미지는 전유계이다. 그러나 균등 연속 함수에서 임의의 거리 공간의 유계 부분 집합의 이미지는 유계일 필요는 없다. 반례로, 이산 거리가 부여된 정수에서 통상적인 유클리드 거리가 부여된 정수로의 항등 함수를 들 수 있다.

하이네-칸토어 정리에 따르면, ''콤팩트 집합 위의 모든 연속 함수는 균등 연속이다.'' 특히, ''함수가 실수선의 닫힌 유계 구간에서 연속이면, 그 구간에서 균등 연속이다.'' 연속 함수의 다르부 적분 가능성은 이 정리로부터 거의 즉시 유도된다.

실수 값을 갖는 함수 f가 [0, ∞)에서 연속이고 lim_x→∞ f(x)가 존재(하고 유한)하면, f는 균등 연속이다. 특히, 무한대에서 0으로 수렴하는 ℝ상의 연속 함수 공간인 C₀(ℝ)의 모든 요소는 균등 연속이다. 이는 위에 언급된 하이네-칸토어 정리의 일반화이며, C_c(ℝ) ⊂ C₀(ℝ)이기 때문이다.

선형 함수 x ↦ ax + b는 균등 연속 함수의 가장 간단한 예시이다.
[0,1] 구간에서 정의된 모든 연속 함수는 [0,1]이 콤팩트 집합이므로 균등 연속 함수이다.
열린 구간에서 함수가 미분 가능하고 그 도함수가 유계라면, 그 함수는 해당 구간에서 균등 연속이다.
두 거리 공간 사이의 모든 립쉬츠 연속 사상은 균등 연속이다. 더 일반적으로, 모든 홀더 연속 함수는 균등 연속이다.
절댓값 함수는 x = 0에서 미분 가능하지 않음에도 불구하고 균등 연속이다. 이는 균등 연속 함수가 항상 미분 가능한 것은 아님을 보여준다.
바이어슈트라스 함수는 어디에서도 미분 가능하지 않지만 균등 연속이다.
균등 동등 연속 함수 집합의 모든 구성원은 균등 연속이다.

5. 균등 연속성과 확장 문제

코시 연속 함수는 연속 함수의 확장 가능성과 관련된 개념이다. 균등 연속성은 함수의 확장 문제와 관련하여 중요한 역할을 한다.

거리 공간 $X$ 의 부분 집합 $S$ 에서 정의된 연속 함수 $f: S \rightarrow R$ (여기서 $R$ 은 완비 거리 공간)를 $X$ 전체로 확장하는 문제를 생각해 보자.

만약 $S$ 가 $X$ 에서 닫혀 있다면, 티체 확장 정리에 의해 확장이 가능하다. 따라서 $f$ 를 $S$ 의 폐포로 확장하는 것을 고려하면 충분하며, $S$ 가 $X$ 에서 조밀하다고 가정할 수 있다. 이 경우 확장은 유일하다.

$f$ 를 연속 함수 $f: X \rightarrow R$ 로 확장하기 위한 충분 조건은 $f$ 가 코시 연속 함수인 것이다. 즉, 코시 수열에 대한 $f$ 의 이미지가 코시 수열로 유지되어야 한다. 만약 $X$ 가 완비 공간이면, $X$ 에서 거리 공간 $Y$ 로의 모든 연속 함수는 코시 연속이다. 따라서 $X$ 가 완비 공간일 때, $f$ 가 연속 함수 $f: X \rightarrow R$ 로 확장되기 위한 필요충분 조건은 $f$ 가 코시 연속인 것이다.

모든 균등 연속 함수는 코시 연속이므로 $X$ 로 확장 가능하다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어 함수 $f: R \rightarrow R, x \mapsto x^2$ 는 균등 연속은 아니지만 연속이므로 코시 연속이다.

일반적으로, $R$ 과 같이 유계가 아닌 공간에서 정의된 함수의 경우, 균등 연속성은 다소 강한 조건이다. 따라서 확장을 보장하기 위해 더 약한 조건을 찾는 것이 유용하다.

예를 들어, $a > 1$ 인 실수 $a$ 에 대해 함수 $f: x \mapsto a^x$ 를 생각해보자. 이 함수는 $x$ 가 유리수일 때만 정의되지만, 모든 유계 구간 $I$ 에 대해 $Q \cap I$ 로 제한된 $f$ 는 균등 연속이므로 코시 연속이며, 따라서 $I$ 에서 연속 함수로 확장된다. 이 성질은 모든 $I$ 에 대해 성립하므로, $f$ 는 모든 $R$ 에서 연속 함수로 유일하게 확장된다.

더 일반적으로, $S$ 의 모든 유계 부분 집합으로의 제한이 균등 연속인 연속 함수 $f: S \rightarrow R$ 은 $X$ 로 확장 가능하며, $X$ 가 국소 콤팩트 공간이면 그 역도 성립한다.

균등 연속 함수의 확장 가능성은 역 푸리에 변환 공식의 증명에 응용된다. 먼저 공식이 시험 함수에 대해 참임을 보이고, 시험 함수가 조밀하게 존재함을 이용한다. 그런 다음 선형 사상이 연속적(따라서 균등 연속)이라는 사실을 사용하여 역 사상을 전체 공간으로 확장한다.

6. 위상 벡터 공간으로의 일반화

두 위상 벡터 공간 ''V''와 ''W''의 특수한 경우에, 함수 ''f'':''V''→''W''의 균등 연속성 개념은 다음과 같다. ''W''에서 0의 임의의 근방 ''B''에 대해, ''v''₁ - ''v''₂ ∈ ''A''이면 ''f''(''v''₁) - ''f''(''v''₂) ∈ ''B''를 만족하는 ''V''에서 0의 근방 ''A''가 존재한다.

선형 변환 ''f'':''V''→''W''의 경우, 균등 연속성은 연속성과 동등하다. 이 사실은 바나흐 공간의 조밀한 부분 공간 밖으로 선형 사상을 확장하기 위해 함수 해석학에서 자주 암묵적으로 사용된다.

7. 균등 공간으로의 일반화

균등 공간은 일련의 측근들이 주어진 집합으로 정의할 수 있으며, 균등 연속 함수의 개념을 이를 사용하여 정의할 수 있다. 이 경우, 정의는 위상 공간 사이의 연속 함수의 정의와 유사해진다.^[2]

위상 공간에서 연속성의 가장 자연스럽고 일반적인 설정이 있는 것처럼, ''균등'' 연속성을 연구하는 가장 자연스럽고 일반적인 설정은 균등 공간이다. 균등 공간 사이의 함수 $f:X \to Y$ 에서 모든 근방 '' $V$ '' in '' $Y$ ''에 대해 모든 $(x_1,x_2)$ in $U$ 에 대해 $(f(x_1),f(x_2))$ in $V$ 가 되는 근방 '' $U$ '' in '' $X$ ''가 존재하면 ''균등 연속''이라고 한다.

이 설정에서 균등 연속 함수는 코시 수열을 코시 수열로 변환한다.

각 콤팩트 하우스도르프 공간은 위상과 호환되는 정확히 하나의 균등 구조를 갖는다. 결과적으로 하이네-칸토어 정리가 일반화된다. 콤팩트 하우스도르프 공간에서 균등 공간으로의 각 연속 함수는 균등 연속이다.^[2]

임의의 균등 연속 함수는 균등성으로부터 유도되는 위상에 관해 반드시 연속이다.

균등 공간과 균등 연속 함수의 전체는 하나의 범주를 이룬다. 균등 공간 사이의 동형 사상은 균등 동형이라고 불린다.

8. 비표준 해석학

비표준 해석학에서, 실수 변수에 대한 실수 값 함수 ''f''는 점 ''a''에서 차이 f^*|f^*^영어(a + δ) - f^*|f^*^영어(a)가 δ가 무한소일 때 정확히 무한소이면 미소연속이다. 따라서 ''f''가 실수 집합 ''A''에서 연속인 것은 f^*|f^*^영어가 모든 실수 점 a ∈ A|a ∈ A^영어에서 미소연속인 경우와 정확히 일치한다. 균등 연속성은 (자연 확장의) ''f''가 ''A''의 실수 점뿐만 아니라, 초실수에서 그 비표준 대응물(자연 확장) ^*A|*A^영어의 모든 점에서 미소연속이라는 조건으로 표현할 수 있다. 이 기준을 충족하지만 균등 연속적이지 않은 초실수 값 함수와 이 기준을 충족하지 않는 균등 연속적인 초실수 값 함수가 존재하지만, 이러한 함수는 어떤 실수 값 함수 ''f''에 대해 f^*|f^*^영어의 형태로 표현될 수 없다. (자세한 내용과 예시는 비표준 미적분학을 참조).

참조

_[1] 웹사이트 橋本義武 Yoshitake Hashimoto さらに以前の雑文集 http://www.sci.osaka[...] 1999-04-24
_[2] 서적 集合と位相空間共立出版
_[3] 서적 Topological groups and related structures Atlantis Press 2008

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